Achille Louis Brocot

• Reference: Geneanet Genealogy - SmartCopy: Dec 25 2022, 18:31:20 UTC

Achille Brocot, mathématicien à ses heures

Achille Brocot (1817-1874) semble davantage connu des amateurs d’horlogerie que des mathématiciens et pourtant cet amateur a fourni un joli travail [1] sur l’approximation rationnelle et laissé son nom
à une structure arborescente représentant Q (conjointement avec le mathématicien allemand Moritz
Stern pour un travail indépendant de celui de Brocot [3]). Reprenons quelques éléments biographiques
de cet illustre inconnu.
1 L’horloger
Comme beaucoup d’artisans à l’époque, Achille Brocot n’a pas choisi sa vocation. Fils aîné de LouisGabriel Brocot, il collabore puis succède à son père (comme son fils lui succédera). Louis-Gabriel est
un artisan ingénieux : remarqué dès 1826 pour une "pendule à sonnerie à râteau et à échappement à
repos", il dépose de nombreux brevets entre 1840 et 1853. Le plus célèbre concerne une pièce de transmission entre un mouvement de balancier et un mouvement de rotation, désormais appelée échappement Brocot (les pendules munies de cet échappement sont bien cotées dans les salles de ventes).
Baigné dans cette atmosphère de création, Achille va rapidement s’affirmer comme un inventeur asFIGURE 1 – Échappement Brocot
tucieux : il améliore des échappements existants, perfectionne différentes pièces d’horlogerie, invente
(avec son père ou à la suite de celui-ci) une suspension pour pendule qui portera le nom de la famille.
Rapidement, il obtient un certain succès commercial (en 1860, 50000 suspensions de type Brocot sont
vendues, tous fabricants confondus) et la petite entreprise montée rue Charlot en 1850 avec Antoine
Jean-Baptiste Delettrez sera primée par une médaille de première classe à l’exposition universelle de

• roger.mansuy@ac-paris.fr

1
1857. Sa carrière d’horloger est jalonnée d’inventions et de réussites (des pendules de cheminée qui
fonctionnent pendant un an sans intervention extérieure, des mécanismes de quantièmes, de lunaisons...) et se termine en même temps que son association avec Delettrez en 1870 et la cession de leurs
brevets à Thielbe.
Les succès professionnels suffisent à assurer la postérité d’Achille Brocot. Pour justifier l’intérêt des
mathématiciens pour cet horloger, il convient de s’intéresser à une commande de réparation assez spéciale.
2 Le mathématicien amateur
En effet, on lui amène, pour les remettre en état primitif, des pendules "comportant quelques indications astronomiques". Malheureusement une partie non-négligeable des mécanismes a disparu et il
faut qu’Achille Brocot réinvente le mécanisme. A priori, rien de difficile, il suffit de regarder quelles sont
les rotations nécessaires pour chacune des informations astronomiques puis de regarder comment les
obtenir à partir du mouvement du balancier.
C’est sur ce dernier point que le bât blesse; en effet, pour changer les vitesses de rotation, on utilise
des engrenages. Les vitesses de départ et d’arrivée sont dans le même rapport que les nombres de dents
des deux roues dentées. En construisant différents engrenages en série, on obtient le produit des rapports obtenus pour chacun des engrenages. Par conséquent, avec un système d’engrenages, on ne peut
modifier la vitesse initiale que d’un rapport rationnel. Autre limitation, une roue dentée doit avoir un
nombre raisonnable de dents (quatre au minimum et un maximum borné par les capacités techniques
de construction). Par conséquent, il faut trouver une approximation du rapport recherché pour la pendule comme produit de fractions dont les numérateurs et dénominateurs (dans l’écriture irréductible)
sont dans l’intervalle des entiers constructibles.
Achille Brocot connaît bien cette problématique; aussi quand il se retrouve confronté à des temps de
révolution de planètes, à la durée du jour sidéral ou du jour lunaire, il cherche dans les méthodes classiques de sa profession comment approcher ces valeurs. Le premier réflexe est d’utiliser les réduites de
la méthode des fractions continues pour obtenir une approximation. Jean-Baptiste Schwilgué avait déjà
utilisé cette technique pour reconstruire en 1842 la magnifique horloge astronomique de la cathédrale
de Strasbourg. Achille Brocot est déçu par les résultats ainsi obtenus : "Le procédé le plus expéditif est
sans contredit celui des fractions continues; elles seules jouissent de la propriété de donner les nombres
les plus réduits et les plus approchés; mais d’une part l’usage de ce procédé n’est pas à la portée de la
plupart des praticiens, et enfin ses ressources sont si limitées qu’il faut le plus souvent abandonner ses
résultats pour aller à l’aventure chercher des nombres." Schématiquement, les réduites sont difficiles à
obtenir pour un horloger peu versé dans les mathématiques et surtout donnent peu de rapports utilisables en horlogerie).
Face à cette difficulté, Achille Brocot va développer sa propre méthode d’obtention des approximations rationnelles. Il l’expose le 10 juin 1860 lors d’une séance de la société des horlogers (sa communication est publiée [1] en décembre de la même année, dans la Revue chronométrique, l’organe de la
société) puis la publie en détail deux ans plus tard [2]. Dans ce dernier volume, Achille Brocot annonce
qu’il cherche à "satisfaire également ceux qui aiment les démonstrations rigoureuses et ceux qui n’ont
pas le loisir de les suivre" : double ambition de mathématicien et de vulgarisateur.

...
Source

Wikipedia