Baron Augustin-Louis Cauchy

Wikipedia Biographical Summary

"...Baron Augustin-Louis Cauchy (21 August 1789 – 23 May 1857; was a French mathematician who was an early pioneer of analysis. He started the project of formulating and proving the theorems of infinitesimal calculus in a rigorous manner, rejecting the heuristic principle of the generality of algebra exploited by earlier authors. He defined continuity in terms of infinitesimals and gave several important theorems in complex analysis and initiated the study of permutation groups in abstract algebra. A profound mathematician, Cauchy exercised a great influence over his contemporaries and successors. His writings cover the entire range of mathematics and mathematical physics..."

"...Cauchy's father (Louis François Cauchy) was a high official in the Parisian Police of the New Régime. He lost his position because of the French Revolution..."

"...When Napoleon Bonaparte came to power (1799), Louis-François Cauchy was further promoted, and became Secretary-General of the Senate..."

"...Augustin-Louis was enrolled in the École Centrale du Panthéon, the best secondary school of Paris at that time, in the fall of 1802..."

"...After finishing school in 1810, Cauchy accepted a job as a junior engineer in Cherbourg, where Napoleon intended to build a naval base..."

"...In September 1812, now 23 years old, after becoming ill from overwork, Cauchy returned to Paris. Another reason for his return to the capital was that he was losing his interest in his engineering job, being more and more attracted to abstract beauty of mathematics..."

"...When Cauchy was 28 years old, he was still living with his parents. His father found it high time for his son to marry; he found him a suitable bride, Aloïse de Bure, five years his junior. She was a close relative of the publisher who published most of Cauchy's works. They were married on April 4, 1818, with great Roman Catholic pomp and ceremony, in the Church of Saint-Sulpice. In 1819 the couple's first daughter, Marie Françoise Alicia, was born, and in 1823 the second and last daughter, Marie Mathilde. Cauchy had two brothers: Alexandre Laurent Cauchy, who became a president of a division of the court of appeal in 1847, and a judge of the court of cassation in 1849; and Eugène François Cauchy, a publicist who also wrote several mathematical works..."

"...In July 1830 France underwent another revolution. Charles X fled the country, and was succeeded by the non-Bourbon king Louis-Philippe (of the House of Orléans). Riots, in which uniformed students of the École Polytechnique took an active part, raged close to Cauchy's home in Paris.

These events marked a turning point in Cauchy's life, and a break in his mathematical productivity. Cauchy, shaken by the fall of the government, and moved by a deep hatred of the liberals who were taking power, left Paris to go abroad, leaving his family behind..."

"...He taught in Turin during 1832-1833. In 1831, he had been elected a foreign member of the Royal Swedish Academy of Sciences..."

"...In August 1833 Cauchy left Turin for Prague, to become the science tutor of the thirteen-year-old Duke of Bordeaux Henri d'Artois (1820–1883), the exiled Crown Prince and grandson of Charles X..."

".... The only good that came out of this episode was Cauchy's promotion to Baron, a title that Cauchy set great store by. In 1834, his wife and two daughters moved to Prague, and Cauchy was finally reunited with his family, after four years of exile..."

"...Cauchy returned to Paris and his position at the Academy of Sciences late in 1838. He could not regain his teaching positions, because he still refused to swear an oath of allegiance..."

Work

"...The genius of Cauchy was illustrated in his simple solution of the problem of Apollonius—describing a circle touching three given circles—which he discovered in 1805, his generalization of Euler's formula on polyhedra in 1811, and in several other elegant problems. More important is his memoir on wave propagation, which obtained the Grand Prix of the French Academy of Sciences in 1816. Cauchy's writings covered notable topics including: the theory of series, where he developed the notion of convergence and discovered many of the basic formulas for q-series. The theory of numbers and complex quantities; he was the first to define complex numbers as pairs of real numbers. The theory of groups and substitutions; and the theory of functions, differential equations, and determinants..."

"...In the theory of light he worked on Fresnel's wave theory and on the dispersion and polarization of light. He also contributed significant research in mechanics, substituting the notion of the continuity of geometrical displacements for the principle of the continuity of matter..."

"...Cauchy is most famous for his single-handed development of complex function theory..."

"...In addition to his work on complex functions, Cauchy was the first to stress the importance of rigor in analysis; he clarified the principles of the calculus by developing them with the aid of infinitesimals, limits, and continuity..."

SOURCE: Wikipedia contributors, 'Augustin-Louis Cauchy', Wikipedia, The Free Encyclopedia, 9 July 2011, 13:09 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Augustin-Louis_Cauchy&old...> [accessed 9 August 2011]

Other References

• Biographical index of former fellows of the Royal Society of Edinburgh, 1783-2002, pt. 1. A-J, page 170
• Reference: Geneanet Genealogy - SmartCopy: Nov 11 2019, 13:21:32 UTC

Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux le 23 mai 1857, est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique.

Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres charitables, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exila volontairement lors de l'avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Ses positions politiques et religieuses lui valurent nombre d’oppositions.

Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques de l'histoire, quoique devancé par Leonhard Euler, Paul Erdős et Arthur Cayley, avec près de 800 parutions et sept ouvrages. Ses recherches couvrent l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des suites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au xixe siècle, mais le fait qu'il publie ses résultats dès leur découverte sans y appliquer toute la rigueur souhaitée et la négligence dont il fit preuve concernant les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel entachèrent son prestige. Il rejeta en effet le mémoire de Galois, jugé par lui « incompréhensible », et celui d'Abel, sous le prétexte d'une « encre trop pâle », alors que ces deux mathématiciens morts avant Cauchy dans des conditions misérables devaient marquer profondément les mathématiques du xxe siècle.

Biographie

Né le 21 août 1789 à Paris, Augustin Louis Cauchy est le fils aîné de Louis François Cauchy (1760–1848) et de Marie-Madeleine Desestre (1767–1839). Son père fut premier commis du Lieutenant général de police de Paris Louis Thiroux de Crosne de 1785 à 1789 ; à la suite de l’exécution de ce dernier en avril 1794, Louis François se retira à Arcueil pour fuir la dénonciation et la Terreur. Sa famille subit néanmoins la loi du maximum et connut la famine. Il retourna occuper des postes administratifs divers en juillet et fut nommé secrétaire général du Sénat conservateur le 1er janvier 1800. Il obtint un appartement de fonction au palais du Luxembourg sous l'Empire. Il fut proche du ministre de l’Intérieur et mathématicien Pierre-Simon de Laplace et du sénateur et mathématicien Joseph-Louis Lagrange.

Augustin Louis reçoit une première éducation chrétienne de son père ; il apprend le latin, la littérature et la science. Il fréquente ensuite l’École centrale du Panthéon et se voit décerner en 1803 et en 1804 divers prix dans les épreuves littéraires du concours général. Il fréquente le lycée Napoléon et a notamment pour professeur Jacques Binet. À 16 ans, en 1805, il est reçu deuxième au concours d'entrée à l'École polytechnique, pour lequel il est interrogé par Jean-Baptiste Biot. Des amis de sa famille, Berthollet, Lagrange et Laplace, l'ont soutenu durant ses études secondaires.

Sous le Premier Empire Il est reçu premier au corps prestigieux de l'École nationale des ponts et chaussées en 1807. Devenu aspirant ingénieur, il est appelé à participer à la construction du canal de l'Ourcq puis du pont de Saint-Cloud. La science de l'ingénieur apparaissait alors comme le domaine naturel d’application des mathématiques. Le 18 janvier 1810, il est nommé pour s’occuper du chantier du port militaire de Cherbourg, qui devait devenir une position militaire stratégique du Premier Empire. Pendant son séjour à Cherbourg, il commence ses premiers travaux en mathématiques durant son temps libre, indépendamment des institutions académiques. Cauchy quitte ce poste à Cherbourg en mars pour se consacrer à ses études. Après qu’un premier écrit est égaré par Gaspard de Prony, il publie, encouragé par Lagrange, ses deux premiers mémoires, portant sur les polyèdres, en février 1811 et en janvier 1812. Il donne aussi des heures officieuses d’enseignement pour préparer des étudiants aux examens d’entrée, et se passionne pour l’histoire naturelle.

Durant une grave maladie (dont les causes peuvent être attribuées au surmenage ou aux séquelles de la famine qu’il connut durant son enfance), il retourne en automne 1812 à Paris et prend quelques mois de congés. Après qu'un poste de professeur-adjoint lui est refusé, il est appelé par son ancien professeur Pierre-Simon Girard à participer de nouveau en mars 1813 au chantier de l'Ourcq. À cette époque, sous l’influence de Lagrange et de Laplace, il exprime le souhait d’abandonner ses travaux d’ingénieur pour se consacrer aux mathématiques. Deux demandes auprès de l'Académie des sciences, appelée alors l'Institut, furent appuyées par Laplace et Siméon Denis Poisson, en mai 1813 et en novembre 1814 après la mort de Lagrange et de Lévêque, mais furent toutes deux rejetées. Cauchy reçoit temporairement un poste à la Société philomathique en décembre 1814. En 1816, il remporte le prix des mathématiques pour des travaux sur la propagation des ondes.

Sous la Restauration

Membre de La Congrégation depuis ses études à Polytechnique, Cauchy bénéficie de l'influence qu'exerce ce mouvement dès le début de la Seconde Restauration. Il devient professeur assistant à l’École polytechnique en novembre 1815, puis professeur d'analyse et de mécanique en décembre. À la suite d'une ordonnance du 21 mars 1816 rétablissant les Académies, il intègre l'Académie des sciences sous nomination royale, parallèlement au renvoi d'importants mathématiciens connus pour leurs positions républicaines et libérales, Lazare Carnot et Gaspard Monge. Cauchy est durement accusé par ses pairs : « Il accepta sans hésiter, non par intérêt, jamais il ne fut sensible à un motif pareil, mais par conviction. »

En 1818, il épouse Aloïse de Bure, avec laquelle il aura deux filles, Alicia (1819) et Mathilde (1823).

Il donne chaque année à l'École polytechnique un cours d'analyse jusqu'en 1830. Ses collègues, François Arago et Alexis Thérèse Petit contestent l'insuffisance supposée de ses cours d'analyse, tandis que certains élèves en critiquent la surcharge horaire. Invité à les rédiger, il publie divers traités durant cette période : une première partie des notes de cours sous le titre Analyse algébrique en 1821 ; puis les notes complètes sous le titre Leçons sur le calcul différentiel en 1829, sans tenir compte des exigences de ses collègues et du ministère.

Exil À l'issue des Trois Glorieuses (juillet 1830), son cléricalisme revendiqué et sa position antilibérale l'amènent à choisir l'exil. En effet, royaliste dévoué à Charles X, il refuse de prêter serment au nouveau roi Louis-Philippe comme l'exige la loi du 31 août 1830. En conséquence, il perd son poste à l’École polytechnique en novembre. À cause de son attachement à la dynastie des Bourbons et par réaction au soutien des étudiants de l’École polytechnique à la Révolution, Cauchy s'exile volontairement à Fribourg en Suisse en septembre 1830, sa femme et ses enfants restant à Paris. Il tente vainement d'y fonder une Académie où les savants émigrés pourraient enseigner. Sur invitation du roi de Piémont, Charles-Albert, il occupe, pendant 2 ans, la chaire nouvellement créée de physique sublime à l'université de Turin en janvier 1832. Il effectue un voyage à Rome et est reçu par le pape Grégoire XVI. Après le décès prématuré en 1831 d'Amédée Cauchy, son frère cadet, Augustin fait deux voyages consécutifs à Paris.

Refusant de rentrer en France malgré les demandes réitérées de sa famille, il accepte l’invitation du roi en exil Charles X de devenir le précepteur du duc de Bordeaux Henri d'Artois. Il est choisi pour ses connaissances scientifiques et son attachement à la religion. Il s’installe en 1833 à Prague, rejoint par sa femme en 1834. Devenu membre de l’Académie de Prague, il séjourne en 1835 à Toeplitz, puis en 1836 à Budweitz, Kirchberg (de) et Görlitz. En remerciement pour son dévouement, Charles X le fait baron.

Retour en France

Il regagne Paris fin 1838, souhaitant rester politiquement neutre, et reprend sa place à l'Académie. Toutefois, il ne récupère pas son poste d’enseignant à l’École polytechnique. Alors qu'il avait peu publié durant son séjour en Allemagne, il publie près d’un article par semaine de 1839 à février 1848, excepté en 1844. En novembre 1839, il est élu pour succéder à Gaspard de Prony au Bureau des longitudes. Mais, parce qu'il refuse de prêter serment, sa nomination est officiellement rejetée par le gouvernement en 1843. Il rend l’affaire publique en décembre.

L’insurrection en février 1848 conduit à la suppression temporaire du serment politique. Après la fuite du comte Libri poursuivi en justice pour vols et vente illégale de livres, Cauchy postule à la chaire de mathématiques du Collège de France, mais se retire au profit de Joseph Liouville, finalement élu en janvier 1851. En 1849, Cauchy devient, à la suite d'Urbain Le Verrier, titulaire de la chaire d'astronomie mathématique à la Faculté des sciences de Paris. Victor Puiseux, un de ses amis et élèves, lui succédera à sa mort.

Cauchy refuse de prêter serment à Napoléon III, en 1852. Il n'en est cependant pas moins maintenu dans ses fonctions, grâce à l'intervention d’Hippolyte Fortoul.

En 1857, Cauchy est impliqué dans une querelle de priorité à propos des chocs non élastiques.

Le 23 mai, vers 4 h du matin heure locale, il meurt d'un rhume dans la maison familiale de sa femme à Sceaux. Il est enterré au cimetière de Sceaux. Son dernier vœu fut que son œuvre fasse l'objet d'une publication intégrale.

Engagements

Engagement religieux

Catholique convaincu, proche des jésuites, Augustin Cauchy s’engagea dans la Congrégation, lors de ses études. Dès son séjour à Cherbourg, il fut critiqué pour son habitude de prier matin et soir : « On dit que ma dévotion me fera tourner la tête. » De retour à Paris, il utilisa à plusieurs reprises sa position à l’Académie pour promouvoir sa pensée. En 1824, il condamna les recherches en neurologie de Franz Joseph Gall, père fondateur de la phrénologie, qui visait à déceler les facultés et les penchants des hommes par la palpation des reliefs du crâne. Sa prise de position, considérée par certains comme non scientifique, fut fortement condamnée dans la presse écrite par Stendhal dans deux articles successifs.

Il éprouvait une antipathie pour les idées libérales issues du xviiie siècle et s’engagea dès son retour en France en 1838 pour l’enseignement catholique en défendant les écoles jésuites. Supprimées en 1772 et rétablies sous la Restauration, elles furent remises en cause sous la Monarchie de Juillet. Engagé aux côtés de Xavier de Ravignan, prédicateur de Notre-Dame, Cauchy fit appel à l’Institut : « Catholique, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la religion ; géomètre, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la Science. […] Vous ne considérez pas comme des ennemis de la civilisation, ceux-là même qui ont éclairé et civilisé tant de peuples divers. » Pierre-Antoine Berryer, Charles de Montalembert et de Vatisménil le soutinrent dans sa démarche. Il est probable que les raisons pour lesquelles il ne put entrer au Collège de France en 1843 soient son engagement aux côtés des jésuites et la forte opposition du comte Libri. Seuls certains établissements des jésuites furent finalement fermés en 1845. L’affaire prit fin en 1848 : la Deuxième République assura l’indépendance de l’enseignement.

Cauchy fonda diverses œuvres catholiques :

• il apporta un soutien actif dès 1838 à la Société de Saint-Vincent-de-Paul, œuvre catholique fondée en 1833 pour apporter une aide aux démunis.
• il fonda en 1842 l’Institut catholique, ou Centre du Luxembourg, dont il présida la section scientifique.
• il proposa en 1843 un opuscule sur la prévention des crimes envoyé à Alexis de Tocqueville.
• sur une demande signée par l’Institut, fut fondée en 1846 l’Œuvre d’Irlande visant à combattre la famine en Irlande.
• en 1854, il fonda l’Œuvre pour l’observation du dimanche, demandant la fermeture des commerces le dimanche.
• Le 04 avril 185626, Cauchy est l’un des fondateurs de l’Œuvre des Écoles d’Orient qui existe toujours sous le nom légèrement modifié de L'Œuvre d'Orient, dont l’objectif est de consolider l’émancipation par l’éducation, dont Lenormant et Cauchy devinrent les vice-présidents27 et dont le premier président fut le contre-amiral Mathieu, collègue de Cauchy au Bureau des longitudes et dont le premier directeur général28 de 1856 au 2 septembre 1861 fut l'abbé Charles Martial Lavigerie, professeur d'histoire de l'Église à la Sorbonne (1854-1856) et futur évêque de Nancy en 1863 et archevêque d'Alger (1867-1892).

Engagement politique

Cauchy est un monarchiste antilibéral. Il utilisa sa position à l'Académie pour promouvoir la pensée royaliste, et s’exila volontairement en 1830 pour s’opposer au nouveau régime. Il considérait la dynastie des Bourbons comme « les soutiens de la religion et de la civilisation chrétienne, les défenseurs des idées et des principes auxquels il avait voué de bonne heure son âme et son cœur ».

Son engagement politique lui valut de fortes oppositions au sein de l'Institut, puis de l'Académie, venant notamment de Poinsot ou d'Arago. Cependant, Arago apporta en 1839 son soutien à la candidature de Cauchy au Bureau des longitudes. Il connut aussi des oppositions avec les ministères, par son refus réitéré de prêter un serment de fidélité à chaque nouveau régime.

Position scientifique

Le génie de Cauchy fut reconnu dès son plus jeune âge. Dès 1801, Lagrange eut ce commentaire : « Vous voyez ce petit homme, eh bien ! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres. » La prédominance de Cauchy en sciences s’explique par la multitude de ses domaines d’études : ses travaux « embrassent à peu près toutes les branches des sciences mathématiques, depuis la théorie des nombres et la géométrie pure jusqu’à l’astronomie et l’optique ».

Bien que ses talents de mathématicien aient été applaudis, les faveurs dont il bénéficia durant la Seconde Restauration ne furent pas appréciées. Critiquant ouvertement Laplace et Poisson, il connut rapidement des conflits avec ses anciens appuis à qui il devait ses premières publications. Ses rapports avec Poisson se dégradèrent avec le temps et une rivalité entre eux s’installa. Ses votes à l’Académie étaient considérés comme orientés. Malgré l’influence de Cauchy sur les nouvelles générations, ses dernières années furent obscurcies par une querelle de priorité en mécanique, où il refusa de reconnaître son erreur.

En tant que membre de l’Académie, Cauchy devait lire et corriger les articles envoyés. Il commit une négligence envers les travaux de Niels Henrik Abel et d'Évariste Galois. Son avis sur le mémoire d'Abel tarda et le rapport fourni en juin 1829 fut finalement défavorable ; les recherches de Galois lui avaient été soumises en mai et n'eurent aucune réponse. Une telle attitude lui a été violemment reprochée. Dans sa biographie, Valson donne une explication : « On doit l’excuser de n’avoir pas toujours eu le temps de s’occuper des publications d’autrui, quand il n’a pas trouvé dans le cours de sa propre vie le loisir nécessaire pour relier et classer ses travaux personnels. »

Travaux

L’ensemble des travaux de Cauchy furent publiés de 1882 à 1974 chez Gauthier-Villars, dans les Œuvres complètes en 27 tomes qui rassemblent environ 800 articles couvrant l’analyse, l’algèbre, la mécanique et les probabilités. Lors de la préparation de ses cours et conférences, Cauchy réfléchit sur les fondements de l’analyse et introduisit des définitions rigoureuses de notions seulement intuitivement utilisées avant lui. Une partie importante de ses travaux concerne l’introduction des fonctions holomorphes et les séries convergentes.

Analyse

Avant les travaux de Cauchy en analyse, les séries et séries de fonctions étaient couramment utilisées dans les calculs, sans le développement d'un formalisme précis et cela conduisait à des erreurs fréquentes, car les mathématiciens ne se posaient pas de question sur l'éventuelle divergence des séries utilisées, comme l'a remarqué Cauchy. Dans son Cours d’Analyse, il définit rigoureusement la convergence des séries et étudie en particulier les séries à termes positifs : les sommes partielles convergent si et seulement si elles sont bornées. Il donne des résultats de comparaison de séries. Il déduit de la convergence des séries trigonométriques un critère de convergence qui porte aujourd’hui son nom, la règle de Cauchy : si la limite supérieure de la suite {\displaystyle |a_{n}|^{1/n}} |a_n|^{1/n} est strictement inférieure à 1, la série de terme général {\displaystyle a_{n}} a_n converge. Intéressé par les séries entières (appelées alors séries de puissances), il met en évidence l'existence d'un rayon de convergence (qu’il appelle cercle de convergence), et en donne une méthode de calcul, conséquence de son critère de convergence. Il démontre que sous certaines hypothèses, le produit des sommes de deux séries convergentes peut s’obtenir comme la somme d’une série, appelée par la suite produit de Cauchy. Il en donne une version pour les séries entières.

Une fonction régulière était à tort considérée comme la somme de sa série de Maclaurin : autrement dit, on pensait à tort qu'une fonction indéfiniment dérivable était déterminée par la suite de ses dérivées successives en un point. En 1822, Cauchy relève deux problèmes : d’une part, le rayon de convergence de cette série entière peut être nul, et d’autre part, sur l’intersection des domaines de définition, la fonction et la somme de sa série de Maclaurin ne sont pas nécessairement égales. Cependant des solutions d’équations différentielles linéaires avaient été exprimées sous forme de séries entières sans aucune justification. Après avoir exhibé des exemples de fonctions plates (en), Cauchy s’intéresse de près au développement de Taylor, et évalue le reste sous forme de la détermination principale. Il donne ainsi des conditions suffisantes pour obtenir des réponses positives aux questions soulevées.

Toujours dans son Cours d’Analyse, il énonce et démontre le théorème des valeurs intermédiaires38, démonstration déjà finalisée par Bolzano en 1817 à partir du critère de Cauchy pour la convergence des suites39. Chez Cauchy, la notion première est celle de quantité variable. C'est à partir de cette notion que sont définies les notions de limite et d'infiniment petit. Ensuite Cauchy définit la continuité à l'aide des infiniment petits : d'un accroissement infiniment petit de x résulte un accroissement infiniment petit de y. Il précise les notions de limite ; et formalise en termes de limites la dérivabilité. Il est arrêté dans ses travaux par une nuance qu'il ne perçoit pas : la différence entre convergence simple et convergence uniforme40. Pourtant, la convergence simple (convergence d'une suite de fonctions en chaque point d'évaluation) n'est pas une condition suffisante pour préserver la continuité par passage à la limite. Il est le premier à donner une définition sérieuse de l’intégration. Il définit l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle sur un intervalle comme une limite d’une suite de sommes de Riemann prises sur une suite croissante de subdivisions de l’intervalle considéré. Sa définition permet d'obtenir une théorie de l’intégration pour les fonctions continues. Dans son Analyse algébrique, il définit les logarithmes et les exponentielles comme uniques fonctions continues vérifiant respectivement les équations fonctionnelles f(xy) = f(x) + f(y) et f(x + y) = f(x) f(y). Bien qu'il se soit efforcé de donner des bases rigoureuses à l'analyse, il ne s'est pas interrogé sur l’existence du corps des nombres réels, établie plus tard par Georg Cantor.

Dans son cours de Polytechnique, Leçon de calcul différentiel et intégral, il apporte clarté et rigueur aux résolutions des équations différentielles linéaires d'ordre 141 et s'intéressa aux équations aux dérivées partielles (théorème de Cauchy-Lipschitz).

Analyse complexe

On doit à Cauchy l'introduction des fondements de l'analyse complexe. Sous l’influence de Laplace, il présente dans le mémoire Sur les intégrales définies (1814) la première écriture des équations de Cauchy-Riemann comme condition d'analyticité pour une fonction d'une variable complexe. Dans cet article, il s’intéresse à l’intégration d’une fonction analytique d’une variable complexe sur le contour d’un rectangle, donne la définition de résidu, et fournit un premier calcul de résidu. Dans Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825), il donne la première définition d'intégrale curviligne, démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et, après avoir obtenu la formule intégrale de Cauchy, énonce précisément le théorème des résidus pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales.

En 1831, Cauchy propose une expression du nombre de racines complexes d’un polynôme dans une région du plan complexe. Si F et P sont des polynômes, P n'a que des racines simples il démontre :

{\displaystyle {\frac {1}{2i\pi }}\int _{\partial U}F(z)\cdot {\frac {P'(z)}{P(z)}}\,\mathrm {d} z=\sum F(z_{i}),} \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial U}F(z)\cdot \frac{P'(z)}{P(z)}\,\mathrm{d}z= \sum F(z_i), où l'intégrale est prise sur le contour du domaine U, et où la somme porte sur les racines de P appartenant au domaine U.

Durant son séjour à Turin, il déduit de la formule de Cauchy précédemment énoncée une expression des coefficients de la série de Taylor d'une fonction analytique d'une variable complexe comme intégrales. Il en déduit les inégalités dites de Cauchy et des résultats sur la convergence des fonctions analytiques d’une variable complexe. Ses travaux seront publiés en 1838 et poursuivis par Laurent, qui fournit comme généralisation des séries entières les séries de Laurent.

Vers 1845, Cauchy s'inspire des travaux des mathématiciens allemands sur les nombres imaginaires, et en particulier l'écriture trigonométrique. Il repousse dans un premier temps cet aspect géométrique pour ensuite l'utiliser dans ses propres travaux. Il définit la notion de dérivée d'une fonction d'une variable complexe ; il établit ensuite l'équivalence entre dérivabilité et analyticité, fondant ainsi la définition des fonctions holomorphes. Tous ses résultats précédents sur le sujet concernent les fonctions holomorphes ; la formule de Cauchy devint un outil central dans l’étude des fonctions holomorphes, et il étudie alors à nouveau les équations de Cauchy-Riemann.

Algèbre

Lagrange avait démontré que la résolution d’une équation algébrique générale de degré n passe par l’introduction d’une équation intermédiaire : sa résolvante dont le degré est le nombre de fonctions à n variables obtenues par permutation des variables dans l’expression d’une fonction polynomiale. Ce nombre est un diviseur de n! : ce résultat est aujourd’hui vu comme une conséquence de l’actuel théorème de Lagrange. En 1813, Cauchy améliore cette estimation et démontre que ce nombre est supérieur au plus petit diviseur premier de n. Son résultat fut généralisé ensuite en l’actuel théorème de Cauchy.

Il fut le premier à réaliser une étude des permutations comme des objets (appelés alors substitutions). Il introduit les écritures encore utilisées aujourd’hui pour noter les permutations ; il définit le produit, l’ordre, et établit l’existence et l’unicité de la décomposition des permutations en produit de cycles (substitutions circulaires) à supports disjoints. Les travaux de Cauchy et de Lagrange sur le sujet sont considérés comme précurseurs de la théorie des groupes. Cependant, Cauchy ne connaissait alors pas la théorie des groupes et donna sans le savoir une première étude du groupe symétrique.

En algèbre linéaire, il écrivit un traité sur le déterminant42 contenant l'essentiel des propriétés de cette application. Il étudia la diagonalisation des endomorphismes symétriques réels et qu'il démontra en dimension deux et trois43 et dans le cas où le polynôme caractéristique ne possède aucune racine multiple44. Enfin, il formalisa la notion de polynôme caractéristique45.

Géométrie

En 1811, il s’intéresse dans son premier mémoire à l’égalité de polyèdres convexes dont les faces sont égales. Il propose une démonstration du théorème de Descartes-Euler, concernant les nombres de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Sa preuve consiste à projeter le polyèdre en un graphe planaire suivant ce qui est aujourd’hui appelé une projection stéréographique. Cependant, Cauchy commit une erreur, en ne faisant pas d’hypothèse claire sur les polyèdres étudiés.

Dans son second mémoire en 1812, il donna des formules pour calculer les angles diédraux.

Mécanique et optique

En mécanique, Cauchy proposa pour décrire la matière d’opposer à la continuité de la matière un système de points matériels dont les mouvements sont continus. Selon Cauchy, les forces entre ces particules doivent devenir négligeables sur les distances estimables. Cauchy énonça des lois sur les variations de tension, de condensation et de dilatation. Il fit une étude sur l’élasticité des corps.

S’intéressant à la variation des molécules d’éther, Cauchy établit les équations de propagation de la lumière en 1829. Il établit les modes de polarisation des ondes planes, mises en évidence par des travaux antérieurs de Fresnel. S’intéressant aux conditions limites au niveau d’une interface, Cauchy démontra les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Il retrouva les résultats de Brewster sur la variation de l’angle de polarisation lors d’une réflexion ou d’une réfraction. Enfin, il démontra l’existence d’ondes évanescentes, vérifiée expérimentalement par Jasmin.

Sous l’influence de Coriolis, Cauchy étudia la dispersion de la lumière. Ses travaux sur les ombres rejetèrent une des objections à la théorie ondulatoire de la lumière. Il mit en évidence le phénomène de diffraction.

En astronomie, sa recherche sur les séries lui permit de réviser la théorie des perturbations mise en place par Lagrange, Laplace, et Poisson pour étudier la stabilité du système solaire. Cauchy s’intéressa de plus près aux calculs astronomiques à partir de son élection au Bureau des Longitudes en 1839. En 1842, il proposa des méthodes de calculs de primitives d’expressions rationnelles en cosinus et sinus ; ces méthodes furent motivées par le développement de la fonction perturbative. En 1845, le mémoire de Le Verrier sur la planète Pallas est vérifié en quelques heures par Cauchy.

Probabilités

Les travaux de Cauchy sur le principe du minimax permirent de développer la théorie de la décision statistique. En 1853, il étudia, via leurs fonctions caractéristiques, une famille de distributions paires répondant à un problème variationnel46, parmi lesquelles figurent la loi normale et la loi de Cauchy, découverte par Poisson. Faisant usage des fonctions caractéristiques, il publia une démonstration du théorème central limite.

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